Tautologi dan Kontradiksi, Aljabar Logika, dan Negasi Ingkaran

TAUTOLOGI adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya

• Contoh pada table kebenaran

p	p	p p
B S	S B	B B

KONTRADIKSI adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya.

• Contoh pada table kebenaran

p	p	p p
B S	S B	S S

ALJABAR LOGIKA

Pernyataan / Proposisi Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya.

• Contoh 1 : p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true) q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false)
• Contoh 2 : Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :

a. 1 + 2 = 3

b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY

c. 6 adalah bilangan prima

d. Warna bendera RI adalah biru dan merah

Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.

NEGASI dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.

p	~p
B	S
S	B

Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

Bentuk ~p biasa dibaca "bukan p", "tidak p", "tidak benar bahwa p", dsb.

DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

·        contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Matriks relasi dan diagram panah, relasi invers

Matriks relasi dan diagram panah, relasi invers

Matriks relasi dan diagram panah, relasi invers 

Ø Penyajian Matriks relasi

       Di sini baris matriks menyatakan anggota himpunana A sedangkan kolommatriks menyatakan anggota himpunana B. Element baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B), atau dengan perkataan lain pasangan (i,j) є R . Dalam hal ini , elemen matriks kita  si denngan 0.

Contoh : Untuk relasi R =  ((1,p),(1,q),(2,q),(3,p)) yang lalu ,penyajian matriks relasinya M adalah :

           p     q

                                                          

           1       1      1

           2       0      1

           3       1      0

                       Atau lebih sederhana dapat di tulis : M =

Ø Penyajian Diagram panah

       Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

Contoh :  Himpunan P = {2, 3, 4, 6} dan Q = {1,2,3,4,6,8} dan “faktor dari” adalah relasi yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk

diagram panah.

                                                              

Ø Relasi invers

Bila pada relasi R dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya , komponen pertama menjadi komponen ke dua dan sebaliknya komponen ke dua menjadi komponen pertama , maka terbentuk lah sebuah relasi  dari B ke A yang merupakan invers dari R . Jadi kalau R = ((a,b) I a є A, b є B), maka inversnya R^-1 = ((b,a) I b є B , a є a ).

Contoh : kalau R = ((1,1) ,(4,2) , (16,4)), maka R =((1,1) ,(2,4) , (4,16). Sedangkan kalau R = (( 1,p) ,(1,q), (2,q) , (3,p), maka R-1 = ((p,1) , (1,1) , (1,2) , (p,3). Kalau R adalah “ x adalah istri dari y” , maka inversnya adalah  “ x adalah suami dari y”.